ولد السنوار في مخيم خان يونس للاجئين جنوبي قطاع غزة، بعد أن نزحت أسرته من مدينة "مجدل شمال" المعروفة بعسقلان بعد احتلالها عام 1948.

تلقى السنوار تعليمه في مدرسة خان يونس الثانوية للبنين، قبل أن يلتحق بالجامعة الإسلامية بغزة ويتخرج منها بدرجة الباكالوريوس في شعبة الدراسات العربية.

في خلال مرحلة الدراسة الجامعية برز السنوار في النشاط الطالبي شاغلًا مهمة الأمين العام للجنة الفنية ثم اللجنةِ الرياضية في مجلس الطلاب، ثم نائباً لرئيس المجلس فرئيساً له  قبل أن يُكَلَّف أدوارًا قيادية في حركة حماس منذ تأسيسها عام سبعةٍ وثمانين.

سطوع نجمه في الحَراك الطالبي قاده إلى سجون الاحتلال باكرًا، فأوقف أشهراً مرات عدةً بين عامي 1982 و1985.

أما في العشرين من كانون الثاني 1988، فاعتقل بتهم تتعلق بقيادة عملية اختطاف وقتل جنديين إسرائيليين وأربعة عملاء، وصدرت في حقه أربع مؤبدات بمجموع 426 عاما.

في أثناء اعتقاله، تولى السنوار قيادة الهيئة القيادية العليا لأسرى "حماس" في السجون لدورتين تنظيميتين، وساهم في إدارة المواجهة مع مصلحة السجون.

حاول السنوار كسْرَ قيد سجنه مرتين، الأولى حين كان معتقلا في سجن المجدل بعسقلان من خلال حفر ثَقْب في جدار الغرفة، والثانية في سجن الرملة، حيث استطاع أن يقص القضبان الحديدية ويجهزَ حبلاً طويلاً للهروب، لكنه كُشِفَ في اللحظة الأخيرة.

استثمر يحيى السنوار فترة السجن التي استمرت 23 عاما في القراءة والتعلم والتأليف، فأتقن اللغة العبرية وغاص في فهم العقلية الإسرائيلية، وألف عدداً من الكتب والترجمات في المجالات السياسية والأمنية والأدبية.

أطلق سراح يحيى السنوار عام 2011، وكان واحداً من بين أكثر من ألف أسير حُرِّروا مقابل الجندي الإسرائيلي جلعاد شاليط ضمن ما سمي حينها صفقةَ "وفاء الأحرار".

بعد الخروج من السجن انتُخب السنوار عضوا في المكتب السياسي لحماس عام 2012، كما تولى مسؤولية الجناح العسكري لكتائب عز الدين القسام.

عام 2015 عينته الحركة مسؤولا عن ملف الأسرى الصهاينة لديها، وفي السنة ذاتها صنفته الولايات المتحدة الأميركية في ما تسميها قائمةَ "الإرهابيين الدوليين"، كما وضعته إسرائيل على لائحة المطلوبين للتصفية في قطاع غزة.

في 13 شباط 2017 انتخب السنوار رئيساً لحماس في غزة خلفاً للشهيد القائد إسماعيل هنية، قبل أن يخلفه في رئاسة المكتب السياسي في السادس من آب عام 2024.